1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица- вырожденная и обратной матрицыне существует. Если, то матрицаневырожденная и обратная матрица существует.
2. Находим матрицу , транспонированную к.
3. Находим алгебраические дополнения элементов и составляем из них присоединенную матрицу.
4. Составляем обратную матрицу по формуле .
5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения:.
Пример. Найти матрицу, обратную данной: .
Р е ш е н и е.
1) Определитель матрицы
.
2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу :
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3) Вычисляем обратную матрицу:
,
4) Проверяем:
№4 Ранг матрицы. Линейная независимость строк матрицы
Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.
В матрице размеромвычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы-го порядка, где. Определители таких подматриц называютсяминорами -го порядка матрицы .
Например, из матриц можно получить подматрицы 1, 2 и 3-го порядка.
Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение:или.
Из определения следует:
1) Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е..
2) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е..
3) Для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица- невырожденная.
Поскольку непосредственный перебор всех возможных миноров матрицы , начиная с наибольшего размера, затруднителен (трудоемок), то пользуются элементарными преобразованиями матрицы, сохраняющими ранг матрицы.
Элементарные преобразования матрицы:
1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).
2) Умножение всех элементов строки (столбца) на число .
3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
5) Транспонирование матрицы.
Определение. Матрица , полученная из матрицыпри помощи элементарных преобразований, называется эквивалентной и обозначаетсяА В .
Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.
Матрица называется ступенчатой если она имеет вид:
Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк , т.к. имеется минор-го порядка, не равный нулю:
.
Пример. Определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.
Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, т.е. .
№5Линейная независимость строк матрицы
Дана
матрица
размера
Обозначим строки матрицы следующим образом:
Две строки называются равными , если равны их соответствующие элементы. .
Введем операции умножения строки на число и сложение строк как операции, проводимые поэлементно:
Определение. Строка называется линейной комбинацией строкматрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа(любые числа):
Определение. Строки матрицы называютсялинейно зависимыми , если существует такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
Где . (1.1)
Линейная зависимость строк матрицы обозначает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных.
Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты , то строкиназываютсялинейно независимыми .
Теорема о ранге матрицы . Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).
Теорема играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.
№6 Решение системы линейных уравнений снеизвестными
Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике.
Система линейных уравнений спеременными имеет вид:
,
где () - произвольные числа, называемыекоэффициентами при переменных и свободными членами уравнений , соответственно.
Краткая запись: ().
Определение. Решением системы называется такая совокупность значений , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
1) Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.
2) Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.
3) Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными ) , если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).
Определение 1: матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю.
Определение 2: матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю.
Матрица "A" называется обратной матрицей , если выполняется условие A*A-1 = A-1 *A = E (единичной матрице).
Квадратная матрица обратима только в том случае, когда она является невырожденной.
Схема вычисления обратной матрицы:
1) Вычислить определитель матрицы "A", если ∆ A = 0, то обратной матрицы не существует.
2) Найти все алгебраические дополнения матрицы "A".
3) Составить матрицу из алгебраических дополнений (Aij )
4) Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений (Aij )T
5) Умножить транспонированную матрицу на число, обратное определителю данной матрицы.
6) Выполнить проверку:
На первый взгляд может показаться, что это сложно, но на самом деле всё очень просто. Все решения основаны на простых арифметических действиях, главное при решении не путаться со знаками "-" и "+", и не терять их.
А теперь давайте вместе с Вами решим практическое задание, вычислив обратную матрицу.
Задание: найти обратную матрицу "A", представленную на картинке ниже:
1. Первое, что нужно сделать, это найти определитель матрицы "A":
Пояснение:
Мы упростили наш определитель, воспользовавшись его основными функциями. Во первых, мы прибавили ко 2 и 3 строке элементы первой строки, умноженные на одно число.
Во-вторых, мы поменяли 2 и 3 столбец определителя, и по его свойствам поменяли знак перед ним.
В-третьих, мы вынесли общий множитель (-1) второй строки, тем самым, снова поменяв знак, и он стал положительным. Также мы упростили 3 строку также, как в самом начале примера.
У нас получилась треугольный определитель, у которого элементы ниже диагонали равны нулю, и по 7 свойству он равен произведению элементов диагонали. В итоге мы получили ∆ A = 26, следовательно обратная матрица существует.
А11 = 1*(3+1) = 4
А12 = -1*(9+2) = -11
А13 = 1*1 = 1
А21 = -1*(-6) = 6
А22 = 1*(3-0) = 3
А23 = -1*(1+4) = -5
А31 = 1*2 = 2
А32 = -1*(-1) = -1
А33 = 1+(1+6) = 7
3. Следующий шаг - составление матрицы из получившихся дополнений:
5. Умножаем эту матрицу на число, обратное определителю, то есть на 1/26:
6. Ну а теперь нам просто нужно выполнить проверку:
В ходе проверки мы получили единичную матрицу, следовательно, решение было выполнено абсолютно верно.
2 способ вычисления обратной матрицы.
1. Элементарное преобразование матриц
2. Обратная матрица через элементарный преобразователь.
Элементарное преобразование матриц включает:
1. Умножение строки на число, не равное нулю.
2. Прибавление к любой строке другой строки, умноженной на число.
3. Перемена местами строк матрицы.
4. Применяя цепочку элементарных преобразований, получаем другую матрицу.
А-1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A-1 )
2. A-1 * A = E
Рассмотрим это на практическом примере с действительными числами.
Задание: Найти обратную матрицу.
Решение:
Выполним проверку:
Небольшое разъяснение по решению:
Сперва мы переставили 1 и 2 строку матрицы, затем умножили первую строку на (-1).
После этого умножили первую строку на (-2) и сложили со второй строкой матрицы. После чего умножили 2 строку на 1/4.
Заключительным этапом преобразований стало умножение второй строки на 2 и прибавлением с первой. В результате слева у нас получилась единичная матрица, следовательно, обратная матрица - это матрица справа.
После проверки мы убедились в правильности решения.
Как вы видите, вычисление обратной матрицы - это очень просто.
В заключении данной лекции хотелось бы также уделить немного времени свойствам такой матрицы.
Эта тема является одной из самых ненавистных среди студентов. Хуже, наверное, только определители.
Фишка в том, что само понятие обратного элемента (и я сейчас не только о матрицах) отсылает нас к операции умножения. Даже в школьной программе умножение считается сложной операцией, а уж умножение матриц — вообще отдельная тема, которой у меня посвящён целый параграф и видеоурок.
Сегодня мы не будем вдаваться в подробности матричных вычислений. Просто вспомним: как обозначаются матрицы, как они умножаются и что из этого следует.
Повторение: умножение матриц
Прежде всего договоримся об обозначениях. Матрицей $A$ размера $\left[ m\times n \right]$ называется просто таблица из чисел, в которой ровно $m$ строк и $n$ столбцов:
\=\underbrace{\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & ... & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & ... & {{a}_{2n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ {{a}_{m1}} & {{a}_{m2}} & ... & {{a}_{mn}} \\\end{matrix} \right]}_{n}\]
Чтобы случайно не перепутать строки и столбцы местами (поверьте, на экзамене можно и единицу с двойкой перепутать — что уж говорить про какие-то там строки), просто взгляните на картинку:
Определение индексов для клеток матрицы
Что происходит? Если разместить стандартную систему координат $OXY$ в левом верхнем углу и направить оси так, чтобы они охватывали всю матрицу, то каждой клетке этой матрицы можно однозначно сопоставить координаты $\left(x;y \right)$ — это и будет номер строки и номер столбца.
Почему система координат размещена именно в левом верхнем углу? Да потому что именно оттуда мы начинаем читать любые тексты. Это очень просто запомнить.
А почему ось $x$ направлена именно вниз, а не вправо? Опять всё просто: возьмите стандартную систему координат (ось $x$ идёт вправо, ось $y$ — вверх) и поверните её так, чтобы она охватывала матрицу. Это поворот на 90 градусов по часовой стрелке — его результат мы и видим на картинке.
В общем, как определять индексы у элементов матрицы, мы разобрались. Теперь давайте разберёмся с умножением.
Определение. Матрицы $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, когда количество столбцов в первой совпадает с количеством строк во второй, называются согласованными.
Именно в таком порядке. Можно сумничать и сказать, мол, матрицы $A$ и $B$ образуют упорядоченную пару $\left(A;B \right)$: если они согласованы в таком порядке, то совершенно необязательно, что $B$ и $A$, т.е. пара $\left(B;A \right)$ — тоже согласована.
Умножать можно только согласованные матрицы.
Определение. Произведение согласованных матриц $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ — это новая матрица $C=\left[ m\times k \right]$, элементы которой ${{c}_{ij}}$ считаются по формуле:
\[{{c}_{ij}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{a}_{ik}}}\cdot {{b}_{kj}}\]
Другими словами: чтобы получить элемент ${{c}_{ij}}$ матрицы $C=A\cdot B$, нужно взять $i$-строку первой матрицы, $j$-й столбец второй матрицы, а затем попарно перемножить элементы из этой строки и столбца. Результаты сложить.
Да, вот такое суровое определение. Из него сразу следует несколько фактов:
- Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Однако умножение ассоциативно: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- И даже дистрибутивно: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- И ещё раз дистрибутивно: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
Дистрибутивность умножения пришлось отдельно описывать для левого и правого множителя-суммы как раз из-за некоммутативности операции умножения.
Если всё же получается так, что $A\cdot B=B\cdot A$, такие матрицы называются перестановочными.
Среди всех матриц, которые там на что-то умножаются, есть особые — те, которые при умножении на любую матрицу $A$ снова дают $A$:
Определение. Матрица $E$ называется единичной, если $A\cdot E=A$ или $E\cdot A=A$. В случае с квадратной матрицей $A$ можем записать:
Единичная матрица — частый гость при решении матричных уравнений. И вообще частый гость в мире матриц.:)
А ещё из-за этой $E$ кое-кто придумал всю ту дичь, которая будет написана дальше.
Что такое обратная матрица
Поскольку умножение матриц — весьма трудоёмкая операция (приходится перемножать кучу строчек и столбцов), то понятие обратной матрицы тоже оказывается не самым тривиальным. И требующим некоторых пояснений.
Ключевое определение
Что ж, пора познать истину.
Определение. Матрица $B$ называется обратной к матрице $A$ , если
Обратная матрица обозначается через ${{A}^{-1}}$ (не путать со степенью!), поэтому определение можно переписать так:
Казалось бы, всё предельно просто и ясно. Но при анализе такого определения сразу возникает несколько вопросов:
- Всегда ли существует обратная матрица? И если не всегда, то как определить: когда она существует, а когда — нет?
- А кто сказал, что такая матрица ровно одна? Вдруг для некоторой исходной матрицы $A$ найдётся целая толпа обратных?
- Как выглядят все эти «обратные»? И как, собственно, их считать?
Насчёт алгоритмов вычисления — об этом мы поговорим чуть позже. Но на остальные вопросы ответим прямо сейчас. Оформим их в виде отдельных утверждений-лемм.
Основные свойства
Начнём с того, как в принципе должна выглядеть матрица $A$, чтобы для неё существовала ${{A}^{-1}}$. Сейчас мы убедимся в том, что обе эти матрицы должны быть квадратными, причём одного размера: $\left[ n\times n \right]$.
Лемма 1 . Дана матрица $A$ и обратная ей ${{A}^{-1}}$. Тогда обе эти матрицы — квадратные, причём одинакового порядка $n$.
Доказательство. Всё просто. Пусть матрица $A=\left[ m\times n \right]$, ${{A}^{-1}}=\left[ a\times b \right]$. Поскольку произведение $A\cdot {{A}^{-1}}=E$ по определению существует, матрицы $A$ и ${{A}^{-1}}$ согласованы в указанном порядке:
\[\begin{align} & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end{align}\]
Это прямое следствие из алгоритма перемножения матриц: коэффициенты $n$ и $a$ являются «транзитными» и должны быть равны.
Вместе с тем определено и обратное умножение: ${{A}^{-1}}\cdot A=E$, поэтому матрицы ${{A}^{-1}}$ и $A$ тоже согласованы в указанном порядке:
\[\begin{align} & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end{align}\]
Таким образом, без ограничения общности можем считать, что $A=\left[ m\times n \right]$, ${{A}^{-1}}=\left[ n\times m \right]$. Однако согласно определению $A\cdot {{A}^{-1}}={{A}^{-1}}\cdot A$, поэтому размеры матриц строго совпадают:
\[\begin{align} & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end{align}\]
Вот и получается, что все три матрицы — $A$, ${{A}^{-1}}$ и $E$ — являются квадратными размером $\left[ n\times n \right]$. Лемма доказана.
Что ж, уже неплохо. Мы видим, что обратимыми бывают лишь квадратные матрицы. Теперь давайте убедимся, что обратная матрица всегда одна.
Лемма 2 . Дана матрица $A$ и обратная ей ${{A}^{-1}}$. Тогда эта обратная матрица — единственная.
Доказательство. Пойдём от противного: пусть у матрицы $A$ есть хотя бы два экземпляра обратных —$B$ и $C$. Тогда, согласно определению, верны следующие равенства:
\[\begin{align} & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end{align}\]
Из леммы 1 мы заключаем, что все четыре матрицы — $A$, $B$, $C$ и $E$ — являются квадратными одинакового порядка: $\left[ n\times n \right]$. Следовательно, определено произведение:
Поскольку умножение матриц ассоциативно (но не коммутативно!), мы можем записать:
\[\begin{align} & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end{align}\]
Получили единственно возможный вариант: два экземпляра обратной матрицы равны. Лемма доказана.
Приведённые рассуждения почти дословно повторяют доказательство единственность обратного элемента для всех действительных чисел $b\ne 0$. Единственное существенное дополнение — учёт размерности матриц.
Впрочем, мы до сих пор ничего не знаем о том, всякая ли квадратная матрица является обратимой. Тут нам на помощь приходит определитель — это ключевая характеристика для всех квадратных матриц.
Лемма 3 . Дана матрица $A$. Если обратная к ней матрица ${{A}^{-1}}$ существует, то определитель исходной матрицы отличен от нуля:
\[\left| A \right|\ne 0\]
Доказательство. Мы уже знаем, что $A$ и ${{A}^{-1}}$ — квадратные матрицы размера $\left[ n\times n \right]$. Следовательно, для каждой из них можно вычислить определитель: $\left| A \right|$ и $\left| {{A}^{-1}} \right|$. Однако определитель произведения равен произведению определителей:
\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot {{A}^{-1}} \right|=\left| A \right|\cdot \left| {{A}^{-1}} \right|\]
Но согласно определению $A\cdot {{A}^{-1}}=E$, а определитель $E$ всегда равен 1, поэтому
\[\begin{align} & A\cdot {{A}^{-1}}=E; \\ & \left| A\cdot {{A}^{-1}} \right|=\left| E \right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| {{A}^{-1}} \right|=1. \\ \end{align}\]
Произведение двух чисел равно единице только в том случае, когда каждое из этих чисел отлично от нуля:
\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| {{A}^{-1}} \right|\ne 0.\]
Вот и получается, что $\left| A \right|\ne 0$. Лемма доказана.
На самом деле это требование вполне логично. Сейчас мы разберём алгоритм нахождения обратной матрицы — и станет совершенно ясно, почему при нулевом определителе никакой обратной матрицы в принципе не может существовать.
Но для начала сформулируем «вспомогательное» определение:
Определение. Вырожденная матрица — это квадратная матрица размера $\left[ n\times n \right]$, чей определитель равен нулю.
Таким образом, мы можем утверждать, что всякая обратимая матрица является невырожденной.
Как найти обратную матрицу
Сейчас мы рассмотрим универсальный алгоритм нахождения обратных матриц. Вообще, существует два общепринятых алгоритма, и второй мы тоже сегодня рассмотрим.
Тот, который будет рассмотрен сейчас, очень эффективен для матриц размера $\left[ 2\times 2 \right]$ и — частично — размера $\left[ 3\times 3 \right]$. А вот начиная с размера $\left[ 4\times 4 \right]$ его лучше не применять. Почему — сейчас сами всё поймёте.
Алгебраические дополнения
Готовьтесь. Сейчас будет боль. Нет, не переживайте: к вам не идёт красивая медсестра в юбке, чулках с кружевами и не сделает укол в ягодицу. Всё куда прозаичнее: к вам идут алгебраические дополнения и Её Величество «Союзная Матрица».
Начнём с главного. Пусть имеется квадратная матрица размера $A=\left[ n\times n \right]$, элементы которой именуются ${{a}_{ij}}$. Тогда для каждого такого элемента можно определить алгебраическое дополнение:
Определение. Алгебраическое дополнение ${{A}_{ij}}$ к элементу ${{a}_{ij}}$, стоящего в $i$-й строке и $j$-м столбце матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ — это конструкция вида
\[{{A}_{ij}}={{\left(-1 \right)}^{i+j}}\cdot M_{ij}^{*}\]
Где $M_{ij}^{*}$ — определитель матрицы, полученной из исходной $A$ вычёркиванием той самой $i$-й строки и $j$-го столбца.
Ещё раз. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы с координатами $\left(i;j \right)$ обозначается как ${{A}_{ij}}$ и считается по схеме:
- Сначала вычёркиваем из исходной матрицы $i$-строчку и $j$-й столбец. Получим новую квадратную матрицу, и её определитель мы обозначаем как $M_{ij}^{*}$.
- Затем умножаем этот определитель на ${{\left(-1 \right)}^{i+j}}$ — поначалу это выражение может показаться мозговыносящим, но по сути мы просто выясняем знак перед $M_{ij}^{*}$.
- Считаем — получаем конкретное число. Т.е. алгебраическое дополнение — это именно число, а не какая-то новая матрица и т.д.
Саму матрицу $M_{ij}^{*}$ называют дополнительным минором к элементу ${{a}_{ij}}$. И в этом смысле приведённое выше определение алгебраического дополнения является частным случаем более сложного определения — того, что мы рассматривали в уроке про определитель.
Важное замечание. Вообще-то во «взрослой» математике алгебраические дополнения определяются так:
- Берём в квадратной матрице $k$ строчек и $k$ столбцов. На их пересечении получится матрица размера $\left[ k\times k \right]$ — её определитель называется минором порядка $k$ и обозначается ${{M}_{k}}$.
- Затем вычёркиваем эти «избранные» $k$ строчек и $k$ столбцов. Снова получится квадратная матрица — её определитель называется дополнительным минором и обозначается $M_{k}^{*}$.
- Умножаем $M_{k}^{*}$ на ${{\left(-1 \right)}^{t}}$, где $t$ — это (вот сейчас внимание!) сумма номеров всех выбранных строчек и столбцов. Это и будет алгебраическое дополнение.
Взгляните на третий шаг: там вообще-то сумма $2k$ слагаемых! Другое дело, что для $k=1$ мы получим лишь 2 слагаемых — это и будут те самые $i+j$ — «координаты» элемента ${{a}_{ij}}$, для которого мы ищем алгебраическое дополнение.
Таким образом сегодня мы используем слегка упрощённое определение. Но как мы увидим в дальнейшем, его окажется более чем достаточно. Куда важнее следующая штука:
Определение. Союзная матрица $S$ к квадратной матрице $A=\left[ n\times n \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times n \right]$, которая получается из $A$ заменой ${{a}_{ij}}$ алгебраическими дополнениями ${{A}_{ij}}$:
\\Rightarrow S=\left[ \begin{matrix} {{A}_{11}} & {{A}_{12}} & ... & {{A}_{1n}} \\ {{A}_{21}} & {{A}_{22}} & ... & {{A}_{2n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ {{A}_{n1}} & {{A}_{n2}} & ... & {{A}_{nn}} \\\end{matrix} \right]\]
Первая мысль, возникающая в момент осознания этого определения — «это сколько же придётся всего считать!» Расслабьтесь: считать придётся, но не так уж и много.:)
Что ж, всё это очень мило, но зачем это нужно? А вот зачем.
Основная теорема
Вернёмся немного назад. Помните, в Лемме 3 утверждалось, что обратимая матрица $A$ всегда не вырождена (т.е. её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$).
Так вот, верно и обратное: если матрица $A$ не вырождена, то она всегда обратима. И даже существует схема поиска ${{A}^{-1}}$. Зацените:
Теорема об обратной матрице. Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$, причём её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$. Тогда обратная матрица ${{A}^{-1}}$ существует и считается по формуле:
\[{{A}^{-1}}=\frac{1}{\left| A \right|}\cdot {{S}^{T}}\]
А теперь — всё то же самое, но разборчивым почерком. Чтобы найти обратную матрицу, нужно:
- Посчитать определитель $\left| A \right|$ и убедиться, что он отличен от нуля.
- Составить союзную матрицу $S$, т.е. посчитать 100500 алгебраических дополнений ${{A}_{ij}}$ и расставить их на месте ${{a}_{ij}}$.
- Транспонировать эту матрицу $S$, а затем умножить её на некое число $q={1}/{\left| A \right|}\;$.
И всё! Обратная матрица ${{A}^{-1}}$ найдена. Давайте посмотрим на примеры:
\[\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end{matrix} \right]\]
Решение. Проверим обратимость. Посчитаем определитель:
\[\left| A \right|=\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end{matrix} \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Определитель отличен от нуля. Значит, матрица обратима. Составим союзную матрицу:
Посчитаем алгебраические дополнения:
\[\begin{align} & {{A}_{11}}={{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & {{A}_{12}}={{\left(-1 \right)}^{1+2}}\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & {{A}_{21}}={{\left(-1 \right)}^{2+1}}\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & {{A}_{22}}={{\left(-1 \right)}^{2+2}}\cdot \left| 3 \right|=3. \\ \end{align}\]
Обратите внимание: определители |2|, |5|, |1| и |3| — это именно определители матриц размера $\left[ 1\times 1 \right]$, а не модули. Т.е. если в определителях стояли отрицательные числа, убирать «минус» не надо.
Итого наша союзная матрица выглядит так:
\[{{A}^{-1}}=\frac{1}{\left| A \right|}\cdot {{S}^{T}}=\frac{1}{1}\cdot {{\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end{array} \right]}^{T}}=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end{array} \right]\]
Ну вот и всё. Задача решена.
Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end{array} \right]$
Задача. Найдите обратную матрицу:
\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]
Решение. Опять считаем определитель:
\[\begin{align} & \left| \begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end{array} \right|=\begin{matrix} \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left(2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end{matrix}= \\ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end{align}\]
Определитель отличен от нуля — матрица обратима. А вот сейчас будет самая жесть: надо посчитать аж 9 (девять, мать их!) алгебраических дополнений. И каждое из них будет содержать определитель $\left[ 2\times 2 \right]$. Полетели:
\[\begin{matrix} {{A}_{11}}={{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right|=2; \\ {{A}_{12}}={{\left(-1 \right)}^{1+2}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=-1; \\ {{A}_{13}}={{\left(-1 \right)}^{1+3}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end{matrix} \right|=-2; \\ ... \\ {{A}_{33}}={{\left(-1 \right)}^{3+3}}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end{matrix} \right|=2; \\ \end{matrix}\]
Короче, союзная матрица будет выглядеть так:
Следовательно, обратная матрица будет такой:
\[{{A}^{-1}}=\frac{1}{-1}\cdot \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end{array} \right]\]
Ну и всё. Вот и ответ.
Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end{array} \right]$
Как видите, в конце каждого примера мы выполняли проверку. В связи с этим важное замечание:
Не ленитесь выполнять проверку. Умножьте исходную матрицу на найденную обратную — должна получиться $E$.
Выполнить эту проверку намного проще и быстрее, чем искать ошибку в дальнейших вычислениях, когда, например, вы решаете матричное уравнение.
Альтернативный способ
Как я и говорил, теорема об обратной матрице прекрасно работает для размеров $\left[ 2\times 2 \right]$ и $\left[ 3\times 3 \right]$ (в последнем случае — уже не так уж и «прекрасно»), а вот для матриц больших размеров начинается прям печаль.
Но не переживайте: есть альтернативный алгоритм, с помощью которого можно невозмутимо найти обратную хоть для матрицы $\left[ 10\times 10 \right]$. Но, как это часто бывает, для рассмотрения этого алгоритма нам потребуется небольшая теоретическая вводная.
Элементарные преобразования
Среди всевозможных преобразований матрицы есть несколько особых — их называют элементарными. Таких преобразований ровно три:
- Умножение. Можно взять $i$-ю строку (столбец) и умножить её на любое число $k\ne 0$;
- Сложение. Прибавить к $i$-й строке (столбцу) любую другую $j$-ю строку (столбец), умноженную на любое число $k\ne 0$ (можно, конечно, и $k=0$, но какой в этом смысл? Ничего не изменится же).
- Перестановка. Взять $i$-ю и $j$-ю строки (столбцы) и поменять местами.
Почему эти преобразования называются элементарными (для больших матриц они выглядят не такими уж элементарными) и почему их только три — эти вопросы выходят за рамки сегодняшнего урока. Поэтому не будем вдаваться в подробности.
Важно другое: все эти извращения нам предстоит выполнять над присоединённой матрицей. Да, да: вы не ослышались. Сейчас будет ещё одно определение — последнее в сегодняшнем уроке.
Присоединённая матрица
Наверняка в школе вы решали системы уравнений методом сложения. Ну, там, вычесть из одной строки другую, умножить какую-то строку на число — вот это вот всё.
Так вот: сейчас будет всё то же, но уже «по-взрослому». Готовы?
Определение. Пусть дана матрица $A=\left[ n\times n \right]$ и единичная матрица $E$ такого же размера $n$. Тогда присоединённая матрица $\left[ A\left| E \right. \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times 2n \right]$, которая выглядит так:
\[\left[ A\left| E \right. \right]=\left[ \begin{array}{rrrr|rrrr}{{a}_{11}} & {{a}_{12}} & ... & {{a}_{1n}} & 1 & 0 & ... & 0 \\{{a}_{21}} & {{a}_{22}} & ... & {{a}_{2n}} & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\{{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & ... & {{a}_{nn}} & 0 & 0 & ... & 1 \\\end{array} \right]\]
Короче говоря, берём матрицу $A$, справа приписываем к ней единичную матрицу $E$ нужного размера, разделяем их вертикальной чертой для красоты — вот вам и присоединённая.:)
В чём прикол? А вот в чём:
Теорема. Пусть матрица $A$ обратима. Рассмотрим присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$. Если с помощью элементарных преобразований строк привести её к виду $\left[ E\left| B \right. \right]$, т.е. путём умножения, вычитания и перестановки строк получить из $A$ матрицу $E$ справа, то полученная слева матрица $B$ — это обратная к $A$:
\[\left[ A\left| E \right. \right]\to \left[ E\left| B \right. \right]\Rightarrow B={{A}^{-1}}\]
Вот так всё просто! Короче говоря, алгоритм нахождения обратной матрицы выглядит так:
- Записать присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$;
- Выполнять элементарные преобразования строк до тех пор, пока права вместо $A$ не появится $E$;
- Разумеется, слева тоже что-то появится — некая матрица $B$. Это и будет обратная;
- PROFIT!:)
Конечно, сказать намного проще, чем сделать. Поэтому давайте рассмотрим парочку примеров: для размеров $\left[ 3\times 3 \right]$ и $\left[ 4\times 4 \right]$.
Задача. Найдите обратную матрицу:
\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\]
Решение. Составляем присоединённую матрицу:
\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]
Поскольку последний столбец исходной матрицы заполнен единицами, вычтем первую строку из остальных:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Больше единиц нет, кроме первой строки. Но её мы не трогаем, иначе в третьем столбце начнут «размножаться» только что убранные единицы.
Зато можем вычесть вторую строку дважды из последней — получим единицу в левом нижнем углу:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end{matrix}\to \\ & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Теперь можно вычесть последнюю строку из первой и дважды из второй — таким образом мы «занулим» первый столбец:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Умножим вторую строку на −1, а затем вычтем её 6 раз из первой и прибавим 1 раз к последней:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Осталось лишь поменять местами строки 1 и 3:
\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\\end{array} \right]\]
Готово! Справа — искомая обратная матрица.
Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}}4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end{array} \right]$
Задача. Найдите обратную матрицу:
\[\left[ \begin{matrix} 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end{matrix} \right]\]
Решение. Снова составляем присоединённую:
\[\left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]
Немного позалимаем, попечалимся от того, сколько сейчас придётся считать... и начнём считать. Для начала «обнулим» первый столбец, вычитая строку 1 из строк 2 и 3:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Наблюдаем слишком много «минусов» в строках 2—4. Умножим все три строки на −1, а затем «выжжем» третий столбец, вычитая строку 3 из остальных:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Теперь самое время «поджарить» последний столбец исходной матрицы: вычитаем строку 4 из остальных:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Финальный бросок: «выжигаем» второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и 3:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
И снова слева единичная матрица, значит справа — обратная.:)
Ответ. $\left[ \begin{matrix} 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{matrix} \right]$
Ну вот и всё. Проверку сделайте сами — мне в лом.:)
Пусть дана квадратная матрица . Требуется найти обратную матрицу.
Первый способ. В теореме 4.1 существования и единственности обратной матрицы указан один из способов ее нахождения.
1. Вычислить определитель данной матрицы. Если, то обратной матрицы не существует (матрицавырожденная).
2. Составить матрицу из алгебраических дополненийэлементов матрицы.
3.
Транспонируя
матрицу ,
получить присоединенную матрицу
.
4. Найти обратную матрицу (4.1), разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель
Второй способ. Для нахождения обратной матрицы можно использовать элементарные преобразования.
1. Составить блочную матрицу , приписав к данной матрицеединичную матрицу того же порядка.
2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы , привести ее левый блокк простейшему виду. При этом блочная матрица приводится к виду, где- квадратная матрица, полученная в результате преобразований из единичной матрицы.
3. Если , то блокравен обратной матрице, т.е.. Если, то матрицане имеет обратной.
В самом деле, при помощи элементарных преобразований строк матрицы можно привести ее левый блокк упрощенному виду(см. рис. 1.5). При этом блочная матрицапреобразуется к виду, где- элементарная матрица, удовлетворяющая равенству. Если матрицаневырожденная, то согласно п.2 замечаний 3.3 ее упрощенный вид совпадает с единичной матрицей. Тогда из равенстваследует, что. Если же матрицавырожденная, то ее упрощенный видотличается от единичной матрицы, а матрицане имеет обратной.
11. Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи СЛАУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛАУ и условия его применимости.
Матричными уравнениями называются уравнения вида: A*X=C; X*A=C; A*X*B=C где матрица А,В,С известны,матрица Х не известна, если матрицы А и В не вырождены, то решения исходных матриц запишется в соответственном виде: Х=А -1 *С; Х=С*А -1 ; Х=А -1 *С*В -1 Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений. С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:
Матрица A называется матрицей системы . Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.
Матрица A˜ называется расширенной матрицей системы . Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены b1,b2,...,bm. Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности.
Матрица-столбец B называется матрицей свободных членов , а матрица-столбец X – матрицей неизвестных .
Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: A⋅X=B.
Примечание
Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков.
Матричный метод подходит для решения СЛАУ, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля. Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса .
12. Однородные СЛАУ, условия существования их ненулевых решений. Свойства частных решений однородных СЛАУ.
Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:
13 .Понятие линейной независимости и зависимости частных решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений (ФСР) и её нахождение. Представление общего решения однородной СЛАУ через ФСР.
Система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) называется линейно зависимой на интервале (a , b ), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a , b ): для . Если равенство для возможно только при , система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) называется линейно независимой на интервале (a , b ). Другими словами, функции y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависимы на интервале (a , b ), если существует равная нулю на (a , b ) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y 1 (x ),y 2 (x ), …, y n (x ) линейно независимы на интервале (a , b ), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a , b ).
Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.
Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР.
Теорема
Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.
1 . Если столбцы - решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинациятакже является решением однородной системы.
В самом деле, из равенств следует, что
т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.
2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеетлинейно независимых решений.
Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений, придавая свободным переменным следующиестандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные - равны нулю):
которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последнихстроках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен. Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).
Любая совокупность линейно независимых решенийоднородной системы называетсяфундаментальной системой (совокупностью) решений .
14 Минор -ого порядка, базисный минор, ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.
Минором порядка k матрицы А называется детерминант некоторой ее квадратной подматрицы порядка k.
В матрице А размеров m x n минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры большего порядка, если они существуют, равны нулю.
Столбцы и строки матрицы А, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными столбцами и строками А.
Теорема 1. (О ранге матрицы). У любой матрицы минорный ранг равен строчному рангу и равен столбцовому рангу.
Теорема 2.(О базисном миноре). Каждый столбец матрицы раскладывается в линейную комбинацию ее базисных столбцов.
Рангом матрицы (или минорным рангом) называется порядок базисного минора или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Ранг нулевой матрицы по определению считают 0.
Отметим два очевидных свойства минорного ранга.
1) Ранг матрицы не меняется при транспонировании, так как при транспонировании матрицы все ее подматрицы транспонируются и миноры не меняются.
2) Если А’-подматрица матрицы А, то ранг А’ не превосходит ранга А, так как ненулевой минор, входящий в А’, входит и в А.
15. Понятие -мерного арифметического вектора. Равенство векторов. Действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число, умножение на матрицу). Линейная комбинация векторов.
Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел называется n-мерным вектором . Числа называются координатами вектора .
Два (ненулевых) вектора a и b равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.
Сложение векторов. Для сложения векторов есть два способа.1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и, помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторови.
2. Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и . По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Вычитание векторов. Вектор направлен противоположно вектору. Длины векторовиравны. Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .
Умножение вектора на число
При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины. Он сонаправлен с вектором, если k больше нуля, и направлен противоположно, если k меньше нуля.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними. Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и .
Линейная комбинация векторов
Линейной
комбинацией векторов 
называют
вектор
где 
-
коэффициенты линейной комбинации.
Если 
комбинация
называется тривиальной, если -
нетривиальной.
16 .Скалярное произведение арифметических векторов. Длина вектора и угол между векторами. Понятие ортогональности векторов.
Скалярным произведением векторов а и в называется число,
Скалярное произведение используется для вычисления:1)нахождения угла между ними;2)нахождение проекции векторов;3)вычисление длины вектора;4)условия перпендикулярности векторов.
Длиной отрезка АВ называют расстоянием между точками А иВ. Угол между векторами А и В называют угол α=(а,в) ,0≤ α ≤П. На который необходимо повернуть 1 вектор,чтоб его направления совпало с другим вектором. При условии,что их начала совпадут.
Ортом а называется вектор а имеющий единичную длину и направления а.
17. Система векторов и её линейная комбинация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Теорема о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы векторов.
Система векторов a1,a2,...,an называется линейно зависимой, если существуют числа λ1,λ2,...,λnтакие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и λ1a1+λ2a2+...+λnan=0. В противном случае система называется линейно независимой.
Два вектора a1 и a2 называются коллинеарными если их направления совпадают или противоположны.
Три вектора a1,a2 и a3 называются компланарными если они параллельны некоторой плоскости.
Геометрические критерии линейной зависимости:
а) система {a1,a2} линейно зависима в том и только том случае, когда векторы a1 и a2 коллинеарны.
б) система {a1,a2,a3} линейно зависима в том и только том случае, когда векторы a1,a2 и a3компланарны.
теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)
Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.
Следствие.1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.
Способы нахождения обратной матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу
Обозначим Δ = det A.
Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной , если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной , если Δ = 0.
Квадратная матрица В есть для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.
Теорема . Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Обратная матрица матрице А, обозначается через А - 1 , так что В = А - 1 и вычисляется по формуле
, (1)
где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j матрицы A..
Вычисление A -1 по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить A -1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.
Пример 1
. Для матрицы 
найти A -1 .
Решение.
Находим сначала детерминант матрицы А 
значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: 
, где А i j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а i j исходной матрицы. 
Откуда 
.
Пример 2 . Методом элементарных преобразований найти A -1 для матрицы: А= .
Решение.
Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: 
. С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: 
~
. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: 
. Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; 
. Прибавим третий столбец к первому и второму: 
. Умножим последний столбец на -1: 
. Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной матрицей к данной матрице А. Итак,
.
